毕业论文有限元法

在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本方程和边界条件后，由于其几何形状、材料特性和外部荷载的不规则性，求得解析解是很困难的。因此，寻求近似解法就成了必由之路。有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具。
数理方程经有限元分析后，最后归结为求解线性代数方程组的问题。随着计算技术的发展，线性代数方程组的解法也在不断更新。
从应用数学的角度考虑，有限元方法的基本思想可以追溯到Courant在1943年的工作。他首先尝试在三角形区域上定义的分片连续汗水和最小位能原理想结合，来求解St.Venant扭转问题。此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元的离散理论、方法及应用进行了研究，有限元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。
有限元方法在结构力学和其他领域的一些问题中是一种有效的数值分析方法。这里介绍的是偏微分方程的有限元方法。
有限元的计算方法采用单元分析、总体合成、代数运算等基本步骤，充分发挥划分单元在几何上具有的灵活性，使有限元计算具有简单、通用、标准化的优点，特别是对物理性态复杂
的问题，更显出其优越性。
PDE有限元求解包括三个过程，即网格生成、有限元离散代数系统的形成、以及离散系统的代数求解。其中第一个和第三个过程是影响有限元求解效率的主要因素。在实际应用中，由于种种原因，如弹性力学中的裂纹问题、岩石力学中的开挖问题等，会出现大量的各向异性网格。传统的网格生成算法，如网格自适应算法和移动网格法等，主要基于对解的逼近性而建立的。但事实上，剖分网格的质量对离散系统的代数求解器的影响很大，从现代有限元法观点出发，应该综合考虑网格对上述两要素的影响，以实现对有限元求解全过程的整体优化。将MG法的运算效率与网格质量之间的关系统一研究的工作还很不完善，目前的技术主要限于半粗化。